Dosbarthiadau Meistroli Mathemateg ar gyfer Pobl Ifanc

Cymesuredd a Phatrymau Cyfresluniau

gan

Jan Abas a Heather McLeay

Theori

Cyflwyniad

Mae celf addurnol wedi’i gynhyrchu gan y gymdeithas ddynol ers tro byd ac mae dal yn weithgaredd mawr heddiw. Mae dylunio o’r fath yn defnyddio cymesuredd, lle mae motiff yn cael ei ailadrodd mewn rhyw ffordd systematig er mwyn creu’r dyluniad cyfan. Lle mae’r motif yn cael ei ailadrodd ar linell, mae patrwm cyfresluniau yn cael ei greu. Yn y nodiadau hyn fe welwch sawl enghraifft o batrwm cyfresluniau.

Mae’r syniad o gymesuredd yn un pwysig iawn, nid yn unig yng nghelf ac yn dylunio ond hefyd mewn llawer o wyddorau gwahanol, yn enwedig mathemateg.

Beth sy’n cael ei olygu gan gymesuredd? Ystyriwch sgwâr. Os rydym yn cylchdroi sgwâr o gwmpas ei ganol trwy 90, 180, 270 neu 360 gradd, yna er bod y fertigau yn cael eu cyfnewid, mae’r sgwâr yn edrych yr un peth. Yn yr un modd os rydym yn adlewyrchu’r sgwâr yn unrhyw un o’r croeslinau neu yn unrhyw un o’r llinellau sy’n cysylltu canolbwyntiau’r ochrau, yna eto bydd y sgwâr yn edrych yr un peth.

Ystyriwch nawr y patrwm ar dop tudalen 4 (fe dybiwn fod y patrwm yn ymestyn am byth i’r ddau gyfeiriad). Yma mae’r pellter rhwng unrhyw bwynt a’i ailadroddiad nesaf yn L. Os byddwn yn llusgo’r patrwm yn llorweddol am bellter L, yna mae’n amlwg bydd y patrwm yn edrych yr un peth ag o’r blaen. Mae’r symudiad yma yn cael ei alw’n drawsfudiad a dywedwn nad yw’r patrwm yn newid os rydym yn gwneud trawsfudiad llorweddolL.

Nesaf edrychwch ar batrwm cyfresluniau’r traed ar dudalen 4 (eto fe dybiwn fod y patrwm yn ymestyn am byth). Yma’r pellter rhwng un sawdl a’r nesaf yw L. Yna, fel yn yr achos blaenorol, mae’r patrwm yn edrych yr un peth os rydym yn gwneud trawsfudiad llorweddol 2L. Yma, fodd bynnag, gallwn wneud rhywbeth arall sy’n gadael y patrwm yr un peth. Os rydym yn gwneud trawsfudiad llorweddol L ac yna’n adlewyrchu trwy’r llinell sy’n pasio trwy ganol y patrwm, yna eto bydd y patrwm yn edrych yr un peth. Mae cyfuniad o drawsfudiad ac adlewyrchiad yn cael ei alw’n adlewyrchiad llithrig. Gallwn ddisgrifio adlewyrchiad llithrig trwy roi pellter a chyfeiriad y trawsfudiad a’r llinell sy’n gweithredu fel y llinell adlewyrchiad.

Gallwn nawr ddiffinio cymesuredd. Dywedwn fod cymesuredd yn perthyn i wrthrych os yw unrhyw drawsfudiadau, cylchdroadau, adlewyrchiadau neu adlewyrchiadau llithrig yn bodoli sydd, ar ôl eu gweithredu ar y gwrthrych, yn gadael ymddangosiad y gwrthrych yr un peth. Mae trawsfudiadau, cylchdroadau, adlewyrchiadau ac adlewyrchiadau llithrig o’r fath yn cael eu hadnabod fel cymesureddau’r gwrthrych. Er enghraifft, cymesureddau sgwâr yw’r cylchdroadau trwy luosrifau o 90 gradd, yr adlewyrchiadau trwy’r croeslinau, a’r adlewyrchiadau trwy’r llinellau sy’n cysylltu canolbwyntiau’r ochrau.

Gellir profi na dim ond 7 gwahanol fath o batrwm cyfresluniau sy’n bodoli; mae gan bob math ei set o gymesureddau. Yn y sesiwn yma byddwch yn dysgu sut i adnabod y saith math o batrwm cyfresluniau a hefyd yn dysgu sut i’w cynhyrchu ar gyfrifiadur.

Y Nodiant

Mae gan y symbolau a ddefnyddir yn Ffigyrau 1, 2 a 3 yr ystyron canlynol:

Byddwn hefyd yn tybio na fydd unrhyw gymesuredd yn y patrwm T, h.y. na fydd gan y patrwm unrhyw linellau adlewyrchiad neu gymesuredd cylchdro 180 gradd (hanner tro). Ar ôl galw T yn ABCD, bydd hyd AB yn cael ei alw’n L, a bydd m ac n yn dynodi canolbwyntiau’r llinellau AD a BC. Yn Ffigwr 1 rydym wedi marcio m ag n yn wahanol er mwyn dangos lleoliadau’r pwyntiau yma fel mae trawsffurfiadau gwahanol yn cael eu rhoi ar T.

Ffigwr 1

T	y patrymlun sylfaenol (gyda motiff).
TH	y teil a gafwyd trwy adlewyrchu T mewn llinell lorweddol.
TV	y teil a gafwyd trwy adlewyrchu T mewn llinell fertigol
TR	y teil a gafwyd trwy gylchdroi T trwy 180 gradd.	Ffigwr 2

Nodyn: Mae adlewyrchiad llorweddol a fertigol yn cyfuno i roi T_R.

Mae “+” yn dynodi gludo dwy deilsen. Felly mae T + T_H yn dynodi’r teil a gafwyd trwy ludo T a T_H.

Algorithmau

Y drefn ar gyfer cynhyrchu patrwm cyfresluniau bydd i gychwyn trwy gynhyrchu teil unedol U trwy ludo i T rhyw fersiynau o T sydd wedi’i drawsffurfio (fel y dangosir yn Ffigwr 3). Ar ôl darganfod U byddwn wedyn yn ailadrodd y deilsen mewn un cyfeiriad. Yr oll sydd ei angen i gynhyrchu’r mathau gwahanol o batrwm cyfresluniau yw gwybod sut i wneud y teil unedol cywir. Eglurir hyn isod.

Mae’r enwau a roddir (yn Ffigwr 3) i’r mathau gwahanol o batrymau cyfresluniau wedi eu rhoi yn y nodiant sydd wedi’i gytuno’n rhyngwladol (mae sawl nodiant arall hefyd yn cael ei ddefnyddio). Mae’r nodiant yn cynnwys y llythyren p wedi’i ddilyn gan dri symbol; er enghraifft pmm2. Mae’r symbol cyntaf ar ôl y p yn cael ei ddefnyddio i ddynodi llinellau adlewyrchiad fertigol, yr ail symbol i ddynodi llinellau adlewyrchiad llorweddol, a’r trydydd symbol i ddynodi cylchdroadau 180 gradd (hanner troad). Felly os yw llinellau adlewyrchiad fertigol yn bodoli, y symbol cyntaf yw m; fel arall y symbol yw 1. Os yw llinellau adlewyrchiad llorweddol yn bodoli, yr ail symbol yw m; ar gyfer adlewyrchiad llithrig yr ail symbol yw a; ac fel arall y symbol yw 1. Os yw unrhyw ganolbwyntiau i gylchdroadau o 180 gradd yn bodoli, y symbol olaf yw 2; fel arall y symbol yw 1.

Math 1: p111 :	U = T. (Yn yr achos yma T ei hun yw’r deilsen unedol.)
Math 2: p1a1 :	U = T + TH
Math 3: p112 :	U = T + TR
Math 4: pm11 :	U = T + TV
Math 5: p1m1 :	U = T + TH
Math 6: pmm2 :	U = T + TV + TH + TR
Math 7: pma2 :	U = T + TV + TH + TR

Ffigwr 3

Enghreifftiau o Batrymau Cyfresluniau

Dangosir isod rhai enghreifftiau o’r saith math o batrymau cyfresluniau. Ym mhob achos mae’r bocs sydd wedi’i farcio â llinell doredig yn dynodi’r patrymlun T sydd wedi’i ddefnyddio i gynhyrchu holl gydrannau arall y patrwm. Mae cymesureddau bob patrwm yn cael eu disgrifio ym mhob achos; awgrymir i’r darllenwr edrych ar strwythur y teil cyfatebol U yn Ffigwr 3 er mwyn gwirio beth sy’n cael ei ddweud.

p111

Yr unig gymesuredd yw’r trawsfudiad gyda chyfnod L.

p1a1

Y cymesureddau yw’r trawsfudiadau gyda chyfnod 2L a’r adlewyrchiadau llithrig. Hyd y fector llithro yw L ac mae wedi’i leoli ar hyd mn.

p112

Y cymesureddau yw’r trawsfudiadau gyda chyfnod 2L a’r hanner troadau o gwmpas m ac n.

pm11

Y cymesureddau yw’r trawsfudiadau gyda chyfnod 2L a’r adlewyrchiadau yn yr ochrau AD a BC.

p1m1

Y cymesureddau yw’r trawsfudiadau gyda chyfnod L a’r adlewyrchiadau yn y llinell AB.

pmm2

Y cymesureddau yw’r trawsfudiadau gyda chyfnod 2L, adlewyrchiadau yn AB, AD a BC, hanner troadau o gwmpas y pwyntiau A a B ac adlewyrchiadau llithrig. Hyd y fector llithro yw 2L ac mae wedi’i leoli ar hyd AB.

pma2

Y cymesureddau yw’r trawsffurfiadau gyda chyfnod 4L; adlewyrchiadau yn y llinellau fertigol sydd gyda phellteroedd o L a 3L o ochrau fertigol U; hanner troadau o gwmpas m ac n; ac adlewyrchiadau llithrig. Hyd y fector llithro yw 2L ac mae wedi’i leoli ar hyd AB.

Darllen Pellach

E.H. Lockwood a R.H. Macmillan (1978) ”Geometric Symmetry”, CUP.

Cyfeiriadau

(1) P.J. Davis a R. Hersh (1981) “The Mathematical Experience”, Pelican (tudalen 169).

(2) Prosiect wedi’i gyllido gan y Swyddfa Gymreig “Strategies and Skills in Mathematics”.

Rhaglen Ryngweithiol Flash | Ymchwiliad | Adref